Question

3．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=x²-2x-3（x＞0）．
（Ⅰ） 若函數(shù)g（x）=|f（x）|-a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 求|f（x+1）|≤4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)y=f（x）與y=|f（x）|的圖象，利用函數(shù)g（x）=|f（x）|-a有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）|與函數(shù)y=a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)．推出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．
（Ⅱ）令f（x）=4得，$x=2\sqrt{2}+1$或-1，利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，結(jié)合圖象，求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=x²-2x-3（x＞0），
則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x-3，（x＞0）\\ 0，（x=0）\\-{x^2}-2x+3，（x＜0）\end{array}\right.$．…（2分）
從而可得函數(shù)y=f（x）與y=|f（x）|的圖象分別如下圖所示．…（4分）


因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=|f（x）|-a有4個(gè)零點(diǎn)，
則題設(shè)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）|與函數(shù)y=a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)．…（5分）
由右上圖可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）
即：當(dāng)a=4或0＜a≤3時(shí)，函數(shù)g（x）=|f（x）|-a有4個(gè)零點(diǎn)．…（7分）
（Ⅱ）令f（x）=4得，$x=2\sqrt{2}+1$或-1，…（8分）
因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)f（x）=-4時(shí)，解得$x=-2\sqrt{2}-1$或1…（9分）
結(jié)合左上圖可知，$|{f（x+1）}|≤4?-2\sqrt{2}-1≤x+1≤2\sqrt{2}+1$，…（10分）
即：$-2\sqrt{2}-2≤x≤2\sqrt{2}$．…（11分）
所以所求解集為$[-2\sqrt{2}-2，2\sqrt{2}]$．             …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．