Question

【題目】已知橢圓方程，其左焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)分別為， ， ，坐標(biāo)原點(diǎn)為，且線段， ， 的長(zhǎng)度成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的一條直線交橢圓于點(diǎn)， ，交軸于點(diǎn)，使得線段被點(diǎn)， 三等分，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】試題分析: （Ⅰ）由線段， ， 的長(zhǎng)度成等差數(shù)列,以及,可求得離心率; （Ⅱ）設(shè)直線的方程為，先研究的情況，根據(jù)，求出將直線的方程和橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可知直線的斜率．

試題解析:（Ⅰ）依題意有，

把上式移項(xiàng)平方并把，代入得，

所以橢圓的離心率．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，先研究的情況，要使，

則， ，

因此．

將直線的方程和橢圓方程聯(lián)立可得解得

由于點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此也等于，

由對(duì)稱性可知直線的斜率為或．