Question

（2007•崇文區(qū)二模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＞0且對任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，且f（1）=2，則f（2）=

2

，若令f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，則a?b的取值范圍是

[4+2

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：對已知等式令x₁=x₂=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2，即f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；若f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，利用已知等式化簡可得ab-2=a+b，結(jié)合基本不等式變形得到ab-2≥2

ab

，解關(guān)于

ab

的不等式得到

ab

≥1+

3

（舍負(fù)），從而得到ab的取值范圍．

解答：解：∵對任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，
∴令x₁=x₂=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2
結(jié)合f（1）=2，得f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；
∵f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，
∴結(jié)合f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，得ab-2=a+b
∵f（x₁）=a，f（x₂）=b均為正數(shù)
∴ab-2=a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立
即（

ab

）²-2

ab

-2≥0，解之得

ab

≤1-

3

或

ab

≥1+

3

結(jié)合

ab

為正數(shù)，可得

ab

≥1+

3

，所以ab≥（1+

3

）²=4+2

3

即a?b的取值范圍是[4+2

3

，+∞）
故答案為：2，[4+2

3

，+∞）

點評：本題給出特殊的抽象函數(shù)，求特殊的函數(shù)值并討論ab的取值范圍．著重考查了抽象函數(shù)的處理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．