Question

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.

(1)求證:平面PBC⊥面PDC

(2)設E為PC上一點,若二面角B-EA-P的余弦值為-,求三棱錐E-PAB的體積.

 

 

Answer 1

(1)見解析

(2)

【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得

PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3

∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB

∵DA⊥面ABP,CB∥DA

∴CB⊥面ABPCB⊥AB ,∴AB⊥面PBC

又DC∥AB,∴DC∥面PBC

∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC

(2)如圖建立空間直角坐標系

則A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)

設E(x,y,z),= (0<<1)

則(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=

設面ABE的法向量為n=(a,b,c), 則

令c=n=(,0,)

同理可求平面PAE的法向量為m=(1,,)

∵cos<n,m>====

∴=或=1(舍去)

∴E(,0,)為PC的中點,其豎坐標即為點E到底面PAB的距離

∴VE-PAB=××1××=