已知數(shù)列，滿足，，

（1）已知，求數(shù)列所滿足的通項公式；

（2）求數(shù)列 的通項公式；

（3）己知，設(shè)＝，常數(shù),若數(shù)列是等差數(shù)列，記，求.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）這屬于數(shù)列的綜合問題，我們只能從已知條件出發(fā)進行推理，以向結(jié)論靠攏，由已知可得，從而當(dāng)時有結(jié)論

，很幸運，此式左邊正好是，則此我們得到了數(shù)列的相鄰兩項的差，那么為了求，可以采取累加的方法（也可引進新數(shù)列）求得，注意這里有，對要另外求得；（2）有了第（1）小題，那么求就方便多了，因為，這里不再累贅不；（3）在（2）基礎(chǔ)上有，我們只有求出才能求出，這里可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，其通項公式為的一次函數(shù)（當(dāng)然也可用等差數(shù)列的定義）求出，從而得到，那么和的求法大家應(yīng)該知道是乘公比錯位相減法，借助已知極限可求出極限.

試題解析：(1)，

．

當(dāng)時，有．

又，，

．

數(shù)列的遞推公式是.

于是，有．

∴.

（說明：這里也可利用，依據(jù)遞推，得

）

由（1）得，

又，可求得．

當(dāng)時，，符合公式．

數(shù)列的通項公式．

 (3)由(2)知，，．又是等差數(shù)列，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)是關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)，即()．

于是，，

，

．

所以，．

考點：（1）數(shù)列綜合題與通項公式；（2）數(shù)列通項公式；（3）等差數(shù)列的性質(zhì)，借位相減法，極限.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、已知數(shù)列an滿足：a4n+1=1，a4n+3=0，a2n=an，n∈N*，則a2011=
0
；a2018=
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=2，
an+1
2an
=1+
1
n
；
（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Sn，試比較an-Sn與2的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題：
①命題p：?x0∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題p為真的實數(shù)a的取值范圍為a＜3；
②代數(shù)式sinα+sin(
2
3
π+α)+sin(
4
3
π+α)的值與角α有關(guān)；
③將函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
3
)的圖象向左平移
π
3
個單位長度后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)；
④已知數(shù)列an滿足：a1=m，a2=n，an+2=an+1-an（n∈N*），記Sn=a1+a2+a3+…+an，則S2011=m；其中正確的命題的序號是
 
 （把所有正確的命題序號寫在橫線上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=
1
4
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
(n≥2，n∈N)
（1）求數(shù)列an的通項公式an；
（2）設(shè)bn=
1
a
2
n
，求數(shù)列bn的前n項和Sn；
（3）設(shè)cn=ansin
(2n-1)π
2
，數(shù)列cn的前n項和為Tn．求證：對任意的n∈N*，Tn＜
4
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=(1+cos2
nπ
2
)an+sin2
nπ
2
，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4；并求證：a2m+1+2=2（a2m-1+2），（m∈N*）；
（2）設(shè)bn=
a2n
a2n-1
，Sn=b1+b2+…+bn，求證：Sn＜n+
5
3
．

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