求證：不論k為何值，直線l：kx－y－4k＋3＝0與曲線C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

[解析]　解法一：將直線l與曲線C的方程聯(lián)立，得

消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.③　　　

∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12>0，

∴方程③有兩相異實(shí)數(shù)根，

因而方程組有兩個(gè)解，即說明直線l與曲線C恒有兩交點(diǎn)．

解法二：當(dāng)k變化時(shí)，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直線l恒過定點(diǎn)A(4,3)，曲線C是半徑r＝2，圓心為C(3,4)的圓．

∵|AC|＝＝<r，

∴直線l與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

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