Question

如圖，在幾何體ABCD-A₁D₁C₁中，四邊形ABCD，A₁ADD₁，DCC₁D₁均為邊長(zhǎng)為1的正方形．
（1）求證：BD₁⊥A₁C₁．
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）補(bǔ)全四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，得到四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，證出A₁C₁⊥平面BDD₁；即可證出BD₁⊥A₁C₁；
（2）用正方體的體積減去三棱錐的體積，得出幾何體的體積．

解答： 解：（1）證明：連接AC，補(bǔ)全四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖所示；
∵四邊形ABCD，A₁ADD₁，DCC₁D₁均為邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴DD₁⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，且BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁，
又∵AA₁∥DD₁∥CC₁，且AA₁=DD₁=CC₁，
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁⊥平面BDD₁；
又∵BD₁⊥?平面BDD₁，
∴BD₁⊥A₁C₁；
（2）該幾何體的體積是
V=V正方體ABCD-A1B1C1D1-V三棱錐B-A1B1C1
=1³-

1

3

•

1

2

•1²•1
=

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的垂直于平行的判斷與性質(zhì)的問(wèn)題，也考查了求空間幾何體的體積的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是補(bǔ)全正方體，是中檔題．