一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).
(Ⅰ)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p;
(Ⅱ)若n=5,求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率;
(Ⅲ) 記三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P.當(dāng)n取多少時(shí),P最大?
【答案】分析:(Ⅰ)本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè),滿足條件的事件是兩球不同色有Cn1C51種,根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果.
(Ⅱ)本題是一個(gè)等可能事件的概率,若n=5,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率,三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),然后利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式進(jìn)行求解即可;
(III)設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p,則三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回),恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P為P=P3(1)=C31•p•(1-p)2=3p3-6p2+3p,當(dāng)p= 時(shí),P取得最大值.得到n的值.
解答:解:(Ⅰ)一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè),有Cn+52種,它們等可能,其中兩球不同色有Cn1C51種,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率
(Ⅱ)若n=5,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率,三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率是
(Ⅲ)設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p,則三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P=P3(1)=C31•p•(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,P'=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),知在上P為增函數(shù),在上P為減函數(shù),當(dāng)時(shí)P取得最大值.又,解得n=20.
答:當(dāng)n=20時(shí),三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題,體現(xiàn)了不同概型的綜合.第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù),運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值.如果學(xué)生直接用代替p,函數(shù)將比較煩瑣,這時(shí)需要運(yùn)用換元的方法,將看成一個(gè)整體,再求最值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥4且n∈N)和5個(gè)白球,從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng).
(Ⅰ)若一次摸兩個(gè)球,試用n表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率p;
(Ⅱ)若一次摸一個(gè)球,當(dāng)n=4時(shí),求二次摸球(每次摸球后不放回)中獎(jiǎng)的概率;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,記三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有二次中獎(jiǎng)的概率為P,當(dāng)n取多少時(shí),P最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥1且n∈N+)和2個(gè)白球,從中有放回連續(xù)摸三次,每次摸出2個(gè)球,若兩個(gè)球顏色不同,則為中獎(jiǎng).
(1)當(dāng)n=3時(shí),設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為ζ,求ζ的分布列及期望;
(2)記三次摸球中,恰好兩次中獎(jiǎng)概率為P,當(dāng)n為多少時(shí),P有最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).
(Ⅰ)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p;
(Ⅱ)若n=5,求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率;
(Ⅲ) 記三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P.當(dāng)n取多少時(shí),P最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:孝感模擬 題型:解答題

一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).
(Ⅰ)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p;
(Ⅱ)若n=5,求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率;
(Ⅲ) 記三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P.當(dāng)n取多少時(shí),P最大?

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