【答案】
分析:(Ⅰ)本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè),滿足條件的事件是兩球不同色有C
n1C
51種,根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果.
(Ⅱ)本題是一個(gè)等可能事件的概率,若n=5,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率
,三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),然后利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式進(jìn)行求解即可;
(III)設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p,則三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回),恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P為P=P
3(1)=C
31•p•(1-p)
2=3p
3-6p
2+3p,當(dāng)p=
時(shí),P取得最大值.得到n的值.
解答:解:(Ⅰ)一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè),有C
n+52種,它們等可能,其中兩球不同色有C
n1C
51種,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率
.
(Ⅱ)若n=5,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率
,三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率是
.
(Ⅲ)設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p,則三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P=P
3(1)=C
31•p•(1-p)
2=3p
3-6p
2+3p,0<p<1,P'=9p
2-12p+3=3(p-1)(3p-1),知在
上P為增函數(shù),在
上P為減函數(shù),當(dāng)
時(shí)P取得最大值.又
,解得n=20.
答:當(dāng)n=20時(shí),三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題,體現(xiàn)了不同概型的綜合.第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù),運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值.如果學(xué)生直接用
代替p,函數(shù)將比較煩瑣,這時(shí)需要運(yùn)用換元的方法,將
看成一個(gè)整體,再求最值.