Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（寫出推證過程）；
（3）令bn=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)(n∈N)，求

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn-n)．

Answer 1

分析：（1）利用已知a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)，分別令n=1，2，3．即可得解．
（2）法1：猜想再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
      法2：a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)，推出Sn并由此得出S_n+1，進(jìn)而得a_n的遞推關(guān)系，從而推得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）利用構(gòu)造法求得b_n，并利用裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而得解．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)n=1時(shí)有

a1+2

2

=

2S1

，S₁=a₁，
∴

a1+2

2

=

2a1

，
解得a₁=2．
當(dāng)n=2時(shí)有

a2+2

2

=

2S2

，S₂=a₁+a₂，a₁=2代入，整理得
（a₂-2）²=16．
由a₂＞0，解得a₂=6．
當(dāng)n=3時(shí)有

a3+2

2

=

2S3

，S₃=a₁+a₂+a₃，將a₁=2，a₂=6代入，整理得
（a₃-2）²=64．
由a₃＞0，解得a₃=10．
故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10．

（2）解法一：由（1）猜想數(shù)列{a_n}有通項(xiàng)公式a_n=4n-2．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是
a_n=4n-2（n∈N）．
①當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?×1-2=2，又在（1）中已求出a₁=2，所以上述結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即有a_k=4k-2．由題意，有

ak+2

2

=

2Sk

，
將a_k=4k-2代入上式，得2k=

2Sk

，解得S_k=2k²．
由題意，有

ak+1+2

2

=

2Sk+1

，S_k+1=S_k+a_k+1，
將S_k=2k²代入，得(

ak+1+2

2

)2=2（a_k+1+2k²），整理得a_k+1²-4a_k+1+4-16k²=0．
由a_k+1＞0，解得a_k+1=2+4k．所以a_k+1=2+4k=4（k+1）-2．
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立．
根據(jù)①、②，上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立．
解法二：由題意，有

an+2

2

=

2Sn

(n∈N)，整理得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
由此得S_n+1=

1

8

（a_n+1+2）²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

8

[（a_n+1+2）²-（a_n+2）²]，
整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，
由題意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1-a_n=4．
即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其中a₁=2，公差d=4．∴a_n=a₁+（n-1）d=2+4（n-1），
即通項(xiàng)公式為a_n=4n-2．

（3）解：令c_n=b_n-1，則cn=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

-2)=

1

2

[(

2n+1

2n-1

-1)+(

2n-1

2n+1

-1)]=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
b₁+b₂+…+b_n-n=c₁+c₂+…+c_n
=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

．
∴

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn-n)=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1

)=1

點(diǎn)評(píng)：本題是一道數(shù)列綜合題，主要考查：通項(xiàng)公式求法，構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求和，以及極限的求法等知識(shí)，綜合性較高，要熟練掌握．