Question

在三棱錐P-ABC中．側(cè)梭長(zhǎng)均為4．底邊AC=4．AB=2，BC=2，D．E分別為PC．BC的中點(diǎn)．
〔I）求證：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅲ）求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=，直角三角形ABC的面積S=，再利用即可得出．
（III）方法一：過(guò)點(diǎn)E 作EH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AD于M，連接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH?平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂線定理），可得∠EMH即為所求的二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可．
方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量即可得到二面角．
解答：證明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，
取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OB，可得：OP⊥AC，
，
∵，∴AC²=AB²+BC²，∴△ABC為Rt△．
∴OB=OC=2，PB²=OB²+OP²，∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB?面ABC，∴OP⊥平面ABC，
又∵OP?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）
（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=．
直角三角形ABC的面積S=．
∴V_P-ABC==．
（Ⅲ）方法一：過(guò)點(diǎn)E 作EH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AD于M，
連接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH?平面ABC，
∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂線定理），
∴∠EMH即為所求的二面角的平面角．
∵E，D分別為中點(diǎn)，EH⊥AC，
∴在RT△HEC中：，，
∴
在RT△HMA中，．
在RT△HME中，．
所以．
方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
O（0，0，0），A（0，-2，0），，C（0，2，0），，，，
∴，，
設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為，
平面ACD的一個(gè)法向量為，
則，得，令x=1，則，．
∴，
設(shè)所求的二面角為θ，顯然θ為銳角，
===．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、利用三垂線定理和二面角的定義求得二面角的平面角、通過(guò)空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量得到二面角等是解題的關(guān)鍵．