Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的定義域；   
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f（x）的定義域可令分母2^x-1≠0求解，對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變化，判斷出值域即可值域；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明，由解析式可以看出本函數(shù)在（0，+∞）是一個(gè)減函數(shù)，可由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷證明即可．
解答：解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定義域?yàn)閧x|x≠0}
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?，
由于2^x-1＞-1，故 ＜-1或 ＞0
故 ＞0或 ＜-2，
∴的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一個(gè)減函數(shù)，證明如下：
由于 ，在（0，+∞）上，2^x-1遞增且函數(shù)值大于0，在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故 在（0，+∞）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的、函數(shù)的定義域與值域的求法，求解此類(lèi)題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于心，熟知其各種判斷證明方法．