Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+d．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-4，求實數(shù)d以及在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

解：（1）由f（x）=-x³+3x²+9x+d，得：f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，即-3x²+6x+9＜0．
解得：x＞3或x＜-1．
再令f′（x）＞0，即-3x²+6x+9＞0．
解得-1＜x＜3．
所以該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；
單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3）．
（2）令f′（x）=0，得到x=-1或x=3（舍）．
由（1）知道該函數(shù)在[-2，-1]上遞減，在[-1，2]上遞增，
那么，最小值為f（-1）=d-5=-4，所以d=1．
所以，f（x）=-x³+3x²+9x+1．
而f（-2）=-（-2）³+3×（-2）²+9×（-2）+1=3，
f（2）=-2³+3×2²+9×2+1=23．
所以函數(shù)f（x）的最大值為23．
分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，解出函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對函數(shù)的定義域分段，判斷導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）求出的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值，把給出的最小值-4代入即可求得d的值，然后求出端點處的函數(shù)值，則函數(shù)在[-2，2]上的最大值可求．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應(yīng)比較極值與端點值．此題是中檔題．