Question

設數列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足：b_n=a_n-a_n+2，c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2（n=1，2，3，…），
證明：{a_n}為等差數列的充分必要條件是{c_n}為等差數列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）

Answer 1

證明：（必要性）
設是{a_n}公差為d₁的等差數列，則
b_n+1-b_n=（a_n+1-a_n+3）-（a_n-a_n+2）=（a_n+1-a_n）-（a_n+3-a_n+2）=d₁-d₁=0
所以b_n≤b_n+1（n=1，2，3，）成立．
又c_n+1-c_n=（a_n+1-a_n）+2（a_n+2-a_n+1）+3（a_n+3-a_n+2）=d₁+2d₁+3d₁=6d₁（常數）（n=1，2，3，）
所以數列{c_n}為等差數列．
（充分性）
設數列{c_n}是公差為d₂的等差數列，且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，）
∵c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2①
∴c_n+2=a_n+2+2a_n+3+3a_n+4②
①-②得c_n-c_n+2=（a_n-a_n+2）+2（a_n+1-a_n+3）+3（a_n+2-a_n+4）=b_n+2b_n+1+3b_n+2
∵c_n-c_n+2=（c_n-c_n+1）+（c_n+1-c_n+2）=-2d₂
∴b_n+2b_n+1+3b_n+2=-2d₂③
從而有b_n+1+2b_n+2+3b_n+3=-2d₂④
④-③得（b_n+1-b_n）+2（b_n+2-b_n+1）+3（b_n+3-b_n+2）=0⑤
∵b_n+1-b_n≥0，b_n+2-b_n+1≥0，b_n+3-b_n+2≥0，
∴由⑤得b_n+1-b_n=0（n=1，2，3，），
由此不妨設b_n=d₃（n=1，2，3，）
則a_n-a_n+2=d₃（常數）．
由此c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2=c_n=4a_n+2a_n+1-3d₃
從而c_n+1=4a_n+1+2a_n+2-5d₃，
兩式相減得c_n+1-c_n=2_（a_n+1-a_n）-2d₃
因此an+1-an=

1

2

(cc+1-cc)+d3=

1

2

d2+d3（常數）（n=1，2，3，）
所以數列{a_n}公差等差數列．
綜上所述：：{a_n}為等差數列的充分必要條件是{c_n}為等差數列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）