Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求二面角E-AB-D的大��；
（2）求四面體ABDE的表面積．

Answer 1

分析：（1）要求二面角E-AB-D的大小，先利用題設(shè)條件，推導(dǎo)出∠DBE即為二面角E-AB-D的平面角．再由題設(shè)條件求出二面角的余弦值，由此能求出二面角的大�。�
（2）由題設(shè)條件分別求出S△ABD=

1

2

AB•BD=2

3

．S_△BDC=S△ABD=2

3

，S△BDE=2

3

，S△ADE=

1

2

AD•DE=4．由此能求出四面體ABDE的表面積．

解答：解：（1）在△EBD中，
∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=

AB2+AD2-2AB•ADcos∠DAB

=2

3

．
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
∵平面EBD⊥平面ABD，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE．
∴∠DBE即為二面角E-AB-D的平面角．
又∵CD⊥BD，∴ED⊥BD，而BD=2

3

，
DE=DC=AB=2，
∴在Rt△BDE中，cos∠DBE=

BD

BE

=

3

2

，
∴∠DBE=30°．
（2）由（1）知：AB⊥BD，
∴S△ABD=

1

2

AB•BD=2

3

．
又∵S_△BDC=S△ABD=2

3

，而△EBD即為△BDC，
∴S△BDE=2

3

．
又∵AB⊥BE，BE=BC=AD=4，∴S△ABE=

1

2

AB•BE=4．
又DE⊥AD，∴S△ADE=

1

2

AD•DE=4．
故四面體ABDE的表面積為8+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的求法，考查四面體的表面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．