Question

如圖所示，已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為D₁C₁、B₁C₁的中點，AC∩BD＝P，A₁C₁∩EF＝Q．

求證：

(1)D、B、F、E四點共面；

(2)若A₁C交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵EF是△D1B1C1的中位線　∴EF∥B1D1． 　　在正方體AC1中，B1D1∥BD　∴EF∥BD 　　∴EF、BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面． 　　B正方體AC1中，設(shè)A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β． 　　∵Q∈A1C1　∴Q∈α，又Q∈EF　∴Q∈β，則Q是α與β的公共點．同理，P點也是α與β的公共點　∴α∩β＝PQ 　　又A1C∩β＝R　∴R∈A1C　∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P、Q、R三點共線．