Question

已知曲線(xiàn)C：y=x²（x＞0），過(guò)C上的點(diǎn)A₁（1，1）作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l₁交x軸于點(diǎn)B₁，再過(guò)B₁作y軸的平行線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)A₂，再過(guò)A₂作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l₂交x軸于點(diǎn)B₂，再過(guò)B₂作y軸的平行線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)A&₃，…，依次作下去，記點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=（8-2n）a_n，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：0＜T_n≤4．

Answer 1

【答案】分析：（I）由y'=2x（x＞0）．知切線(xiàn)l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以．依題意點(diǎn)A_n+1在直線(xiàn)上，所以數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由，知．由錯(cuò)位相減法能導(dǎo)出，n≥2時(shí)，．由n≥2時(shí)，T_n≤T_n-1，知T_n≤T_n-1≤…≤T₂，由此能夠證明0＜T_n≤4．
解答：解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲線(xiàn)C在點(diǎn)A_n（a_n，a_n²）處的切線(xiàn)l_n的斜率為k_n=2a_n．
∴切線(xiàn)l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y=0得   ，
∴．
依題意點(diǎn)A_n+1在直線(xiàn)上，
∴又a₁=1．（4分）
∴數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
∴．（5分）
（Ⅱ）由已知．
∴．①．②
①-②得==．（9分）
∴（10分）
又n≥2時(shí)，．
又當(dāng)n≥2時(shí)，T_n≤T_n-1．
∴T_n≤T_n-1≤…≤T₂．
∴當(dāng)n=2時(shí)，T₁=T₂=4．
∴（T_n）_max=T₂=4，∴T_n≤4．（13分）
綜上0＜T_n≤4．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查通項(xiàng)公式的求法和求證：0＜T_n≤4．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．