Question

設a＞0，對于函數(shù)f（x）=

sinx+a

sinx

(0＜x＜π)，下列結論正確的是（　�。�

A．有最大值而無最小值

B．有最小值而無最大值

C．有最大值且有最小值

D．既無最大值又無最小值

Answer 1

分析：換元：令t=sinx，t∈（0，1]，函數(shù)轉化為y=1+

a

t

，t∈（0，1]，通過研究關于t的函數(shù)y=1+

a

t

，的單調(diào)性與值域，可以得出原函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，從而得出正確答案．

解答：解：令t=sinx，t∈（0，1]，則函數(shù)

sinx+a

sinx

(0＜x＜π)的值域為
函數(shù)y=1+

a

t

，t∈（0，1]，的值域，
又∵a＞0，
∴y=1+

a

t

，t∈（0，1]，是一個減函減．
當t=1時函數(shù)有最小值1+a，函數(shù)無最大值．
故選B．

點評：本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．解題時應注意換元法的運用，和用反比例函數(shù)單調(diào)性的技巧．