【題目】如圖.四棱柱的底面是直角梯形，，，，四邊形和均為正方形.

（1）證明；平面平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）證明平面ABCD，再利用面面垂直判定定理證明

（2）由（1）知，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建系，求出兩個半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可

（1）證明：因為四邊形和均為正方形，所以，.

又，所以平面ABCD.

因為平面，所以平面平面ABCD.

（2）（法—）由（1）知，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

則，.

設為平面的法向量，則

令，則，，所以.

又因為平面ABCD，所以為平面ABCD的一個法向量.

所以.

因為二面角是銳角.所以二面角的余弦值為.

（法二）過B作于H，連接.

由（1）知平面ABCD，則，

而，所以平面

所以

從而為二面角的平面角.

由等面積法，可得，即.

所以，

故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】空氣質量指數(shù)是反映空氣質量狀況的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表：

指數(shù)值

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

如圖是某市10月1日—20日指數(shù)變化趨勢：

下列敘述正確的是（ ）

A.該市10月的前半個月的空氣質量越來越好

B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

D.總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量差

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一個調(diào)查學生記憶力的研究團隊從某中學隨機挑選100名學生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間（分鐘）和答對人數(shù)的統(tǒng)計表格如下：

時間（分鐘）

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

答對人數(shù)

98

70

52

36

30

20

15

11

5

5

1.99

1.85

1.72

1.56

1.48

1.30

1.18

1.04

0.7

0.7

時間與答對人數(shù)的散點圖如圖：

附：，，，，，對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.請根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

（1）根據(jù)散點圖判斷，與，哪個更適宣作為線性回歸類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結果，建立與的回歸方程；（數(shù)據(jù)保留3位有效數(shù)字）

（3）根據(jù)（2）請估算要想記住的內(nèi)容，至多間隔多少分鐘重新記憶一遍.（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若定義域均為D的三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）滿足條件：對任意x∈D，點（x，g（x）與點（x，h（x）都關于點（x，f（x）對稱，則稱h（x）是g（x）關于f（x）的“對稱函數(shù)”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）關于f（x）的“對稱函數(shù)”，且h（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是_____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年雙十一落下帷幕，天貓交易額定格在268（單位：十億元）人民幣（下同），再創(chuàng)新高，比去年218（十億元）多了50（十億元），這些數(shù)字的背后，除了是消費者買買買的表現(xiàn)，更是購物車里中國新消費的奇跡，為了研究歷年銷售額的變化趨勢，一機構統(tǒng)計了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數(shù)據(jù)（單位：十億元）.繪制如下表1：

表1

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

銷售額

0.9

8.7

22.4

41

65

94

132.5

172.5

218

268

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖所示.

把銷售超過100（十億元）的年份叫“暢銷年”，把銷售額超過200（十億元）的年份叫“狂歡年”，從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個，求至少取到一個“狂歡年”的概率.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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【題目】“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按照干支順序相配，構成了“干支紀年法”，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60為一個周期，周而復始，循環(huán)記錄.按照“干支紀年法”，中華人民共和國成立的那年為己丑年，則2013年為（ ）

A.甲巳年B.壬辰年C.癸巳年D.辛卯年

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方陣堪稱“強軍利刃”“強國之盾”，見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關注，還得到了無數(shù)外國人的關注.某單位有10位外國人，其中關注此次大閱兵的有8位，若從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪，則被采訪者中至少有2位關注此次大閱兵的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是函數(shù)定義域的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“準不動點”，也稱在區(qū)間上存在準不動點，已知，.

（1）若，求函數(shù)的準不動點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在準不動點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設Tn為數(shù)列{an}的前n項的積，即Tn=a1a2…an．

（1）若Tn=n2，求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列{an}滿足Tn=（1﹣an）（n∈N*），證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求{an}的通項公式；

（3）數(shù)列{an}共有100項，且滿足以下條件：

①；

②（1≤k≤99，k∈N*）．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）試問符合條件的數(shù)列共有多少個？為什么？

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