Question

【題目】若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)圖像上存在一對“偶點(diǎn)”．

（1）寫出函數(shù)圖像上一對“偶點(diǎn)”的坐標(biāo)；（不需寫出過程）

（2）證明：函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點(diǎn)”；

（3）若函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點(diǎn)”，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意即正弦函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解；

（2）要證：函數(shù)數(shù)圖象上有且只有一對“偶點(diǎn)”，只需證：在上有且只有一個零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)即可證明；

（3）由題意，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)可求．

（1）函數(shù)圖像上一對“偶點(diǎn)”的坐標(biāo)為，

（2）設(shè)，

因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，且，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，

要證：函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點(diǎn)”，

只需證：在上有且只有一個零點(diǎn)，

令，得，

所以，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，

，，

所以函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，

所以函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點(diǎn)”，

（3）設(shè)，，

因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，且，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)圖像上有且只有一對“偶點(diǎn)”，

所以函數(shù)在有且只有一個零點(diǎn)，

，，

①當(dāng)時，因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，所以，

所以函數(shù)在無零點(diǎn)，

②當(dāng)時，由，

得：，

所以函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)，在上單調(diào)增函數(shù)，

所以，

設(shè)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)，在上單調(diào)減函數(shù)，

所以，所以，

所以，

設(shè)，設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)在單調(diào)增函數(shù)，

所以，所以函數(shù)在單調(diào)增函數(shù)，

所以，所以當(dāng)時，，

，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)增函數(shù)，

所以函數(shù)在上有且僅有一個，使得，

綜上：的取值范圍為.