Question

已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)-1≤x≤1時，|f(x)|≤1．

(1)證明|c|≤1；

(2)證明當(dāng)-1≤x≤1時，|g(x)|≤2；

(3)設(shè)a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)．

 

Answer 1

答案：
解析：

本題重點(diǎn)考查同學(xué)們綜合運(yùn)用知識分析問題和解決問題的能力，以及特殊化思想、數(shù)形結(jié)合思想、單調(diào)性思想、絕對值不等式性質(zhì)，具有思維的深刻性．由于給出的函數(shù)只是一些字母關(guān)系，很抽象，論證推理的要求較高，且推理層次又深，故很難下手，需多加領(lǐng)會． 　　(1)∵　x∈[-1，1]時，|f(x)|≤1 　　而0∈[-1，1]，∴　|f(0)|=|c|≤1． 　　(2)當(dāng)a＞0時，g(x)=ax+b在[-1，1]上是增函數(shù) 　　∴　g(-1)≤g(x)≤g(1) 　　∵　f(1)=a+b+c；f(-1)=a-b+c 　　∴　g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2 　　g(-1)=-a+b=-f(-1)+c 　　　　　 ≥-[|f(-1)|+|c|]≥-2 　　∴　-2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2． 　　當(dāng)a＜0時，g(x)=ax+b在[-1，1]上是減函數(shù) 　　∴　g(1)≤g(x)≤g(-1) 　　∵　g(-1)=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c｜≤2 　　g(1)=f(1)-c≥-[|f(1)|+|c|]≥-2 　　∴　-2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2 　　當(dāng)a=0時，g(x)=b，f(x)=bx+c 　　∴　g(x)=f(1)-c 　　∴　|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2 　　綜上所述，|g(x)|≤2 　　(3)因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>a＞0，g(x)在[-1，1]上是增函數(shù)，所以g(x)的最大值是g(1)=a+b=2 　　∵　f(1)=a+b+c=2+c 　　又由|f(1)|≤1及|c|≤1 　　∴　c=-1 　　因?yàn)楫?dāng)-1≤x≤1時，f(x)≥-1．即f(x)≥f(0)，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，知直線x=0為二次函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸 　　∴　即b=0，a=2 　　∴　f(x)=2x2-1．