Question

已知函數(shù)f（x）=x³（x＞0），點A_n（n，y_n），A_n+1（n+1，y_n+1）在函數(shù)f（x）的圖象上（n∈N^*）過點A_n，A_n+1的切線分別為L_n，L_n+1，L_n與L_n+1的交點的橫坐標(biāo)為x_n．設(shè)，則=（ ）
A．
B．1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到在點A_n，A_n+1的切線方程，根據(jù)函數(shù)值相等求出L_n與L_n+1的交點的橫坐標(biāo)x_n的表達(dá)式；進(jìn)而求出a_n的表達(dá)式，通過對其分離常數(shù)以及裂項即可求出答案．
解答：解：對y=x³（n∈N^*）求導(dǎo)得y′=3x²，
令x=n得在點A_n（n，y_n）處的切線的斜率k=3n²，
所以在點A_n（n，y_n）處的切線方程為y-n³=k（x-n）=3n²（x-n）⇒y=3n²x-2n³；
同理在A_n+1的切線方程為：y-（n+1）³=3（n+1）²[x-（n+1）]⇒y=3（n+1）²x-2（n+1）³．
∴3n²x-2n³=3（n+1）²x-2（n+1）³⇒x=
即⇒x_n-1=．
∴=•===+=+（）．
∴=
==（+×）
=．
故選：A．
點評：本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、數(shù)列的分組求和，裂項相消等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．