Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱與底面垂直，P，Q分別是棱BB₁，CC₁上的點，AB⊥A₁Q，．
（1）求證：AC⊥A₁P；
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ與面BCC₁B₁所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證：AC⊥A₁P，只需證AC⊥平面ABB₁A₁，要證AC⊥平面ABB₁A₁，由側(cè)棱與底面垂直與AB⊥A₁Q，可得AB⊥平面ACC₁A₁，可得AC⊥AB，即可得證．
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ與面BCC₁B₁所成角（銳角）的余弦值．只需求出兩個平面的法向量，即可求得．
解答：解：（1）由已知AA₁⊥AB，又AB⊥A₁Q，∵AB⊥面AA₁C₁C，∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA₁，∴AC⊥面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁P
（2）以AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
設(shè)BP=z₁，CQ=z₂，則，A（0，0，0）
又M是△A₁PQ的重心，可得M
∴，
又
∵，
∴得或（舍）
∴面A₁PQ的法向量為，
又面BB₁C₁C的一個法向量是
∴面A₁PQ與面BCC₁B₁夾角θ的余弦值．
點評：此題考查學生對線面垂直的判定與性質(zhì)的理解與掌握，和用向量知識解決立體幾何問題的能力和空間想象能力．