Question

設(shè)f（x）=4x²-4（a+1）x+3a+3（a∈R），若f（x）=0有兩個(gè)均小于2的不同的實(shí)數(shù)根，則此時(shí)關(guān)于x的不等式（a+1）x²-ax+a-1＜0是否對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：先利用對(duì)稱軸小于2，以及方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)先求a的范圍，再根據(jù)a的范圍對(duì)不等式的恒成立問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化二次函數(shù)解決即可．
解答：解：由題意得
得2或a＜-1；
若（a+1）x²-ax+a-1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則有：
①若a+1=0，即a=-1，則不等式化為x+2＞0不合題意
②若a+1≠0，則有
得
綜上可知，只有在時(shí)，（a+1）x²-ax+a-1＜0才對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．
∴這時(shí)（a+1）x²-ax+a-1＜0不對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，根的分布，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想．