(本題滿分10分)
如圖,已知拋物線M:的準線為,N為上的一個動點,過點N作拋物線M的兩條切線,切點分別為A、B,再分別過A、B兩點作的垂線,垂足分別為C,D。
求證:直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點Q,并寫出點Q的坐標;
若的面積成等差數(shù)列,求此時點N的坐標。
【必做題】
解法一:(1)因為拋物線的準線的方程為,
所以可設點的坐標分別為,
,,則,,
由,得,求導數(shù)得,于是,
即,化簡得,
同理可得,
所以和是關(guān)于的方程
兩個實數(shù)根,所以,
且.
在直線的方程中,
令,得=為定值,
所以直線必經(jīng)過軸上的一個定點,即拋物線的焦點.……………………………5分
(2)由(1)知,所以為線段的中點,取線段的中點,
因為是拋物線的焦點,所以,所以,
所以
,
又因為,,
所以,,成等差數(shù)列,即成等差數(shù)列,
即成等差數(shù)列,所以,,
所以,,
時,,,
時,,,
所以所求點的坐標為.………………………………………………………………10分
解法二:(1)因為已知拋物線的準線的方程為,所以可設點的坐標分別為,,,則,,
設過點與拋物線相切的直線方程為,與拋物線方程聯(lián)立,消去得,
因為直線與拋物線相切,所以,即,解得,此時兩切點橫坐標分別為,
在直線的方程中,令得
=為定值,
所以直線必經(jīng)過軸上的一個定點,即拋物線的焦點.……………………………5分
(2)由(1)知兩切線的斜率分別為,則,所以,
連接,則直線斜率為,
又因為直線的斜率,
所以,
所以,又因為,所以,
所以和的面積成等差數(shù)列,所以成等差數(shù)列,
所以成等差數(shù)列,所以,,
所以,,
時,,,
時,,,
所以所求點的坐標為. …………………………………………………………10分
(以上各題如考生另有解法,請參照本評分標準給分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
17.本題滿分10分已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為,相鄰的兩個最值點是和(1)求函數(shù);(2)設,問將函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換可以得到 的圖像?(3)畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆浙江省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分10分)
(Ⅰ)設,求證:;
(Ⅱ)設,求證:三數(shù),,中至少有一個不小于2.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆河南省高二上學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面邊長AB=2,側(cè)棱BB1的長為4,過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E,交B1C于點F,
⑴求證:A1C⊥平面BDE;
⑵求A1B與平面BDE所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省揚州市寶應縣高三下學期期初測試數(shù)學試卷 題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,已知正三棱柱的所有棱長都為2,為棱的中點,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值大小.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年遼寧省高二上學期期末考試數(shù)學理卷 題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,要計算西湖岸邊兩景點與的距離,由于地形的限制,需要在岸上選取和兩點,現(xiàn)測得,,, ,,求兩景點與的距離(精確到0.1km).參考數(shù)據(jù):
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