Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求幾何體ABD-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，連接DE，則DE∥A₁B．由此能證明A₁B∥平面ADC₁．
（2）幾何體ABD-A₁B₁C₁的體積V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{C}_{1}-ADC}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是A₁C及AC₁的中點(diǎn)．
連接DE，則DE∥A₁B．
因?yàn)镈E?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．
解：（2）∵AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，
∴幾何體ABD-A₁B₁C₁的體積：
V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{C}_{1}-ADC}$
=S_△ABC×AA₁-$\frac{1}{3}{S}_{△ADC}×A{A}_{1}$
=$\frac{1}{2}×1×1×2$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（\frac{1}{2}×1×1）×2$
=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．