Question

等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，數(shù)列{a_n}與{b_n}且滿足關(guān)系式（n∈N^*），奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若，求p+q必須滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（-0）求出f（0）的值，設(shè)x＞0則-x＜0，將其代入小于0的解析式，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出大于0的解析式；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系作差即可即可求出a_n的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽求出p的范圍，由于a_n＞0，，所以3^3q＞1，即q＞0，從而求出p+q必須滿足的條件．
解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0當(dāng)x＞0時(shí)，
所以f（x）=

（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，由于，所以
相減計(jì)算得a_n=3n-2
檢驗(yàn)得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=的定義域?yàn)镽，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以
由于，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性以及數(shù)列的極限等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．