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18.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積=12(弦×矢+矢2).弧田由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.
現(xiàn)有圓心角為\frac{2π}{3},弦長等于2\sqrt{3}米的弧田.
(I)計算弧田的實際面積;
(II)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得結(jié)果與(I)中計算的弧田實際面積相差多少平方米?(取π近似值為3,\sqrt{3}近似值為1.7)

分析 (I)利用扇形的面積公式,計算扇形的面積,從而可得弧田的實際面積;
(II)按照上述弧田面積經(jīng)驗公式計算得\frac{1}{2}(弦×矢+矢2),從而可求誤差.

解答 解:(I)∵扇形半徑r=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2,…(1分)
∴扇形面積=\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×{2}^{2}=\frac{4π}{3}…(3分)
又三角形面積=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}…(4分)
∴弧田面積=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}(m2);…(5分)
(II)∵圓心到弦的距離等于1,所以矢長為1.…(6分)
按照上述弧田面積經(jīng)驗公式計算得
\frac{1}{2}(弦×矢+矢2)=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}×1+{1}^{2})=\sqrt{3}+\frac{1}{2}.…(8分)
∴兩者差為\frac{4π}{3}-\sqrt{3}-(\sqrt{3}+\frac{1}{2})≈0.1平方米
按照弧田面積經(jīng)驗公式計算結(jié)果比實際少平方米.…(10分)

點評 本題考查扇形的面積公式,考查學(xué)生對題意的理解,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

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