Question

已知函數f （x）=2asin²x+2sinxcosx-a的圖象過點（0，-

3

）．
（1）求常數a；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f （x） 的值域．

Answer 1

分析：（1）只需將點（0，-

3

）代入函數表達式，利用0弧度角的三角函數值即可解得a的值；
（2）先利用兩角差的正弦公式和特殊角三角函數值，將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函數的圖象求f（x）的值域即可

解答：解：（1）把點（0，-

3

）代入函數表達式，得-

3

=2asin²0+2sin0cos0-a，化簡得a=

3

（2）f（x）=2

3

sin²x+2sin2x-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）
因為0≤x≤

π

2

，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

所以-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
所以-

3

≤2sin（2x-

π

3

）≤2，
故f（x）的值域為[-

3

，2]

點評：本題考查了三角變換公式的應用，y=Asin（ωx+φ）型的函數的圖象和性質，特殊角的三角函數值