Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x²-mlnx≥x²-x，轉(zhuǎn)化為即：m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，從而得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即：k（x）=x-2lnx-a，設(shè)y₁=x-2lnx，y₂=a，分別畫(huà)出它們的圖象，由圖得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性，由圖可知，只須函數(shù)f（x）=x²-mlnx在x=

1

2

處取得極小值即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，
即：x²-mlnx≥x²-x，
mlnx≤x，即：m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，
因?yàn)?span id="ph9jhjz" class="MathJye">

x

lnx

在（1，+∞）上的最小值為：e，
∴m≤e．
實(shí)數(shù)m的取值范圍：m≤e
（2）當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
即：k（x）=x-2lnx-a，
設(shè)y₁=x-2lnx，y₂=a，分別畫(huà)出它們的圖象，
由圖得：
實(shí)數(shù)a的取值范圍（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性，
由圖可知，只須函數(shù)f（x）=x²-mlnx在x=

1

2

處取得極小值即可．
∵f（x）=x²-mlnx
∴f′（x）=2x-m×

1

x

，將x=

1

2

代入得：
1-2m=0，
∴m=

1

2

故存在實(shí)數(shù)m=

1

2

，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合思想是解析函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)中最常用的方法，即畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖象，然后根據(jù)圖象直觀的分析出答案，但數(shù)形結(jié)合的前提是熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)．