Question

在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，現(xiàn)有下列命題：
①△ABC一定為銳角三角形；
②該三棱錐的每組對(duì)棱分別互相垂直；
③該三棱錐的外接球的半徑為

a2+b2+c2

；
④頂點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影一定為△ABC的重心．
其中真命題有

 

（填上你認(rèn)為的真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分別根據(jù)三棱錐的性質(zhì)，以及空間直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：①∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可證AB⊥CF，AC⊥BE，故O為△ABC的垂心，故①②正確，④錯(cuò)誤．
③以SA，SB，SC為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為三棱錐的外接球的直徑，
則2r=

a2+b2+c2

，即外接圓的半徑r=

1

2

a2+b2+c2

，故③錯(cuò)誤．
故正確的命題為①②，
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間三棱錐的位置關(guān)系的判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．