精英家教網(wǎng)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.
(Ⅰ)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大。
(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足
BD
=
BA
+
BC
,在直線AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出AA1向量,平面AA1C1C的法向量,然后求出側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大。
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,求出
BD
=
BA
+
BC
,設(shè)出P的坐標(biāo),使DP∥平面AB1C,即
DP
與法向量共線
,再求出P的坐標(biāo).
解答:解:(Ⅰ)∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于點(diǎn)O,
∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱長都相等,
∴AO=1,OA1=OB=
3
,BO⊥AC.(2分)
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則
A(0,-1,0),B(
3
,0,0),A1(0,0,
3
),
C(0,1,0),
AA1
=(0,1,
3
)

A
B
 
1
=(
3
,2,
3
),
AC
=(0,2,0)
.(4分)
設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,1)
n•
A
B
 
1
=
3
x+2y+
3
n•
AC
=2y=0

解得n=(-1,0,1).(6分)
由cos<
AA1
,n
>=
A
A
 
1
•n
|
AA1
|•|n|
=
3
2
2
=
6
4

而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角,
即是向量
AA1
與平面AB1C的法向量所成銳角的余角,
∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小為
6
4
.(6分)

(Ⅱ)∵
BD
=
BA
+
BC
,
BA
=(-
3
,-1,0),
BC
=(-
3
,1,0)

BD
=(-2
3
,0,0)
.(8分)
又∵B(
3
,0,0),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-
3
,0,0).
假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0,y,z).
DP
=(
3
,y,z)

∵DP∥平面AB1C,n=(-1,0,1)為平面AB1C的法向量,
∴由
AP
AA1
,得
y+1=λ
3
3
,∴y=0.(11分)
又DP?平面AB1C,
故存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C,其坐標(biāo)為(0,0,
3
),即恰好為A1點(diǎn).(12分)
點(diǎn)評:本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征,考查空間想象能力,邏輯思維能力,具有探索性特點(diǎn),是難度較大題目.
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(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大;

(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.

 

 

 

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如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點(diǎn).

   (Ⅰ)求側(cè)棱AA1與平面A1BC所成角的正弦值;

   (Ⅱ)已知點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn),在直線AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.

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