Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F(xiàn)分別是B₁A，CC₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F(xiàn)分別是B₁A，CC₁，BC的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)及直三棱柱的幾何特征，我們易判斷出AF⊥B₁F，B₁F⊥EF，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到B₁F⊥平面AEF；
（2）B₁M⊥AE于M，連接FM，由三垂線定理我們易得∠B₁MF即為二面角B₁-AE-F的平面角，解三角形B₁MF，即可求出二面角B₁-AE-F的正切值．
解答：證明：（1）等腰直角三角形△ABC中F為斜邊的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面C₁B，
∴AF⊥B₁F
設(shè)AB=AA₁=1，
∴，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，
∴B₁F⊥面AEF
解：（2）∵B₁F⊥面AEF，
作B₁M⊥AE于M，連接FM，
∴∠B₁MF為所求
又∵，
所求二面的正切值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定及二面角的平面角的求法，其中在求二面角時(shí)，找出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．