Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過對角線BD₁的一個平面交AA₁于E，交CC₁于F，得四邊形BFD₁E，給出下列結(jié)論：
①四邊形BFD₁E有可能為梯形
②四邊形BFD₁E有可能為菱形
③四邊形BFD₁E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形
④四邊形BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D₁D
⑤四邊形BFD₁E面積的最小值為

6

2

其中正確的是

 

（請寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：四邊形有兩組對邊分別平行知是一個平行四邊形，當(dāng)與兩條棱上的交點是中點時，四邊形BFD₁E為菱形，四邊形BFD₁E垂直于面BB₁D₁D，四邊形BFD₁E在ABCD內(nèi)的投影是面ABCD，當(dāng)E，F(xiàn)分別是兩條棱的中點時，四邊形BFD₁E面積的最小值為

6

2

．

解答：解：四邊形BFD₁E有兩組對邊分別平行知是一個平行四邊形，
故①不正確，
當(dāng)兩條棱上的交點是中點時，四邊形BFD₁E為菱形，四邊形BFD₁E垂直于平面BB₁D₁D，故②④正確，
四邊形BFD₁E在底面ABCD內(nèi)的投影是面ABCD，一定是正方形，
故③正確，
當(dāng)E，F(xiàn)分別是兩條棱的中點時，四邊形BFD₁E面積的最小值為

6

2

，
故⑤正確．
總上可知有②③④⑤正確，
故答案為：②③④⑤

點評：本題考查正方體中有關(guān)的線面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解想象出要畫出的平面是怎樣的平面，有哪些特殊的性質(zhì)，考慮全面就可以正確解題．