Question

已知⊙C₁：x²+（y+2）²=1，⊙C₂：(x+

3

)2+(y-1)2=1；坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)夾角為60°的直線l₁和l₂，它們分別與⊙C₁和⊙C₂相交，且l₁被⊙C₁截得的弦長(zhǎng)和l₂被⊙C₂截得的弦長(zhǎng)相等．請(qǐng)你寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：

（

3

，1）；（-2

3

，-2）

．

Answer 1

分析：由題意得到：C₁坐標(biāo)為（0，-2），C₂坐標(biāo)為（-

3

，1），半徑都為1，設(shè)P（m，n），設(shè)直線l₁方程為：y-n=k（x-m），則直線l₂方程為：y-n=

-k- 3

3 k-1

（x-m），由此能寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：由題意得到：C₁坐標(biāo)為（0，-2），C₂坐標(biāo)為（-

3

，1），半徑都為1，
設(shè)P（m，n），設(shè)直線l₁方程為：y-n=k（x-m），
則直線l₂方程為：y-n=

-k- 3

3 k-1

（x-m），
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，
及直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，
即

|-km+2+n|

1+k2

=

| -k- 3 3 k-1 (- 3 -m)+n-1|

1+( -k- 3 3 k-1 )2

，
整理得：(

3

，1)，(-2

3

，-2)．
故答案為：(

3

，1)，(-2

3

，-2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．