Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明．
（3）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，寫出函數(shù)f（x）=x+

1

x

的單調(diào)區(qū)間（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性或?qū)��?shù)證明．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以f(-x)=-x-

1

x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）任設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)．
（3）由（1）（2）知，f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)，在（-∞，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．