已知函數(shù)f（x）=x+
1
x

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明．
（3）當x∈（-∞，0）時，寫出函數(shù)f（x）=x+
1
x
的單調(diào)區(qū)間（不必證明）．
分析：（1）求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)證明．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
所以f(-x)=-x-
1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x)，所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）任設0＜x1＜x2＜1，
則f(x1)-f(x2)=x1+
1
x1
-(x2+
1
x2
)=x1-x2+(
1
x1
-
1
x2
)=(x1-x2)
x1x2-1
x1x2
，
因為0＜x1＜x2＜1，0＜x1x2＜1，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)．
（3）由（1）（2）知，f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)，在（-∞，1）上是增函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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