Question

已知數(shù)列{a_n}與圓C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圓C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圓C₁與圓C₂交于A，B兩點且這兩點平分圓C₂的周長．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=-3，則當圓C₁的半徑最小時，求出圓C₁的方程．

Answer 1

分析：本題綜合考查等差數(shù)列的概念和等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的證明、直線和圓、圓的方程等相關知識．
（1）根據(jù)兩圓的交點將圓C₂的周長平分可知圓C₂的圓心在交點A、B的連線上，由此可得|C₁C₂|²=r₁²-r₂²，將二圓化為標注方程代入即得a_n+1和a_n的遞推關系，由此可證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）在（1）的基礎上易得數(shù)列{a_n}的通項公式，以此表示圓C₁的半徑是關于n的二次方程，根據(jù)其最小值時的n值，可以得到圓C₁的方程．

解答：解：（1）由已知，圓C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0的圓心為
（a_n，-a_n+1），半徑為r1=

a 2 n + a 2 n+1 +1

，（2分）
圓C₂：x²+y²+2x+2y-2=0的圓心為（-1，-1），
半徑為r₂=2，（3分）
由題意：|C₁C₂|²+r₂²=r₁²，（5分）
則（a_n+1）²+（a_n=1-1）²+4=a_n²+a_n+1²+1，
則an+1-an=

5

2

，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；（7分）
（2）∵a₁=-3，則an=

5

2

n-

11

2

，（9分）
則r1=

an2+an+12+1

=

1

2

(5n-11)2+(5n-6)2+4

•
=

1

2

50n2-170n+161

，（12分）
∵n∈N₊，則當n=2時，r₁可取得最小值，（13分）
此時，圓C₁的方程是：x²+y²+x+4y-1=0．（14分）

點評：本題橫跨解析幾何、數(shù)列兩大數(shù)學內(nèi)容，涉及知識點眾多，是規(guī)模較大的綜合性問題；
要正確的解決問題，必須在分析清楚題意的基礎上理清思路，針對性的切入解題；
本題結(jié)合圖形容易理清思路，注意數(shù)形結(jié)合在解題中不可替代的作用．