已知兩點(diǎn)F1(-1,0)及F2(1,0),點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.
【答案】分析:(1)依題意,設(shè)橢圓C的方程為,c=1.再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列,即可得到a,利用b2=a2-c2得到a即可得到橢圓的方程;
(2)將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x2+4y2=12中,得到關(guān)于x的一元二次方程,由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,△=0,即可得到m,k的關(guān)系式,利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到d1=|F1M|,d2=|F2N|.
法一:當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)直線l的傾斜角為θ,則|d1-d2|=|MN|×|tanθ|,即可得到四邊形F1MNF2面積S的表達(dá)式,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出S的最大值;
法二:利用d1及d2表示出及d1d2,進(jìn)而得到,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出其最大值.
解答:解:(1)依題意,設(shè)橢圓C的方程為
∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列,∴2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4,a=2.
又∵c=1,∴b2=3.∴橢圓C的方程為
(2)將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.                
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,△=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,
化簡(jiǎn)得:m2=4k2+3.                          
設(shè),,
法一:當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)直線l的傾斜角為θ,
則|d1-d2|=|MN|×|tanθ|,
=,
∵m2=4k2+3,∴當(dāng)k≠0時(shí),,
當(dāng)k=0時(shí),四邊形F1MNF2是矩形,.   
所以四邊形F1MNF2面積S的最大值為.    
法二:∵,
=
四邊形F1MNF2的面積=,
=.  
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),,故
所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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A、
x2
16
+
y2
9
=1
B、
x2
16
+
y2
12
=1
C、
x2
4
+
y2
3
=1
D、
x2
3
+
y2
4
=1

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(1)求橢圓C的方程;

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A.
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C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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