Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，算出•=6，分別將和分解為以、和為基向量的式子，將數(shù)量積•展開，化簡(jiǎn)整理得•=7+（+），最后研究+的大小與方向，可得（+）的最大、最小值，最終得到•的取值范圍．
解答：解：∵==，∠ACB=60°
∴•=•cos60°=6
∵=+，=+
∴•=（+）（+）=•+（+）+²
∵=1
∴•=6+（+）+1=7+（+）
∵△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
∴向量+是與AB垂直且方向向上，長(zhǎng)度為6的一個(gè)向量
由此可得，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與+共線同向時(shí)，（+）取最大值，且這個(gè)最大值為6
當(dāng)與+共線反向時(shí)，（+）取最小值，且這個(gè)最小值為-6
故•的最大值為7+6=13，最小值為7-6=1．即•的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
點(diǎn)評(píng)：本題在等邊三角形和單位圓中，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量的加減法則和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．