Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1 a x，0≤x≤a 1 1-a (1-x)，a＜x≤1

，a為常數(shù)且a∈（0，1）
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求f[f（

1

3

）]；
（2）若x滿足f[f（x）]=x₀，但f（x₀）≠x₀，則稱x₀為f（x）的二階周期點(diǎn)，證明函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x₁，x₂．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)的值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，根據(jù)所給的函數(shù)解析式直接求值即可得出答案；
（2）根據(jù)二階周期點(diǎn)的定義，分段進(jìn)行求解，找出符號(hào)定義的根即為所求．

解答： （1）解：當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求f（

1

3

）=

2

3

，故f（f（

1

3

））=f（

2

3

）=2（1-

2

3

）=

2

3

；
（2）f（f（x））=

1 a2 x，0≤x≤a2 1 a(1-a) (a-x)，a2＜x≤a 1 (1-a)2 (x-a)，a＜x≤a2-a+1 1 a(1-a) (1-x)，a2-a+1＜x≤1

當(dāng)0≤x≤a²時(shí)，由

1

a2

x=x，解得x=0，因?yàn)閒（0）=0，故x=0不是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
當(dāng)a²＜x≤a時(shí)，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

a

-a2+a+1

∈(a2，a)
因?yàn)閒（

a

-a2+a+1

）=

1

a

×

a

-a2+a+1

=

1

-a2+a+1

≠

a

-a2+a+1

，
故x=

a

-a2+a+1

是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
當(dāng)a＜x≤a²-a+1時(shí)，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

1

2-a

∈（a，a²-a+1），因?yàn)閒（

1

2-a

）=

1

2-a

，故得x=

1

2-a

不是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
當(dāng)a²-a+1＜x≤1時(shí)，由

1

a(1-a)

=(1-x)=x，解得x=

1

-a2+a+1

∈（a²-a+1，1），因?yàn)閒（

1

-a2+a+1

）=

a

-a2+a+1

≠

1

-a2+a+1

，故x=

1

-a2+a+1

是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
因此函數(shù)有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，x₁=

a

-a2+a+1

，x₂=

1

-a2+a+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的值，新定義的理解，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想及符號(hào)運(yùn)算的能力，難度較大，綜合性強(qiáng)，解答時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真方可避免會(huì)而作不對現(xiàn)象的出現(xiàn)．