Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且3a_n+1-8a_n+1a_n+5a_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知條件通過n=1，2，3即可求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟在證明即可．

解答：解：（Ⅰ）由3a_n+1-8a_n+1a_n+5a_n=2得，an+1=

5an-2

8an-3

因?yàn)閍₁=1，所以a2=

3

5

，…（2分）
同理a3=

5

9

，a4=

7

13

…（4分）
（Ⅱ）猜想an=

2n-1

4n-3

…（6分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立．…（7分）
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（n∈N^*）時(shí)，猜想成立，即ak=

2k-1

4k-3

，…（8分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有ak+1=

5ak-2

8ak-3

=

5• 2k-1 4k-3 -2

8• 2k-1 4k-3 -3

…（10分）
=

2k+1

4k+1

=

2(k+1)-1

4(k+1)-3

，…（12分）
所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立
綜合①②，猜想對(duì)任何n∈N^*都成立      …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力．