Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，
（1）設(shè)f（x）=x²-2，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）設(shè)f（x）=ax²+bx-b，若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）都有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若奇函數(shù)f（x）（x∈R）存在K個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求證：K為奇數(shù)．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²-2=x，得x=-1，或x=2．
∴f（x）的不動(dòng)點(diǎn)是-1和2．
（2）因?yàn)閒（x）=ax²+bx-b對(duì)任意實(shí)數(shù)b，都有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，
即方程ax²+bx-b=x恒有兩個(gè)不同解，
∴ax²+（b-1）x-b=0恒有兩個(gè)不同解
∴△=（b-1）²+4ab＞0恒成立，
∴b²+（4a-2）b+1＞0恒成立，
∴（4a-2）²-4＜0，
解得0＜a＜1．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
（3）證明：∵奇函數(shù)f（x）（x∈R）存在K個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
對(duì)于f（x）上任意不動(dòng)點(diǎn)（x₀，x₀），有f（x₀）=x₀，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x₀）=-f（x₀）=-x₀，
∴（-x₀，-x₀）也是f（x）上的不動(dòng)點(diǎn)，
即：x₀≠0時(shí)，f（x）的不動(dòng)點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn)
∵（0，0）是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)
所以，f（x）不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)k必為奇數(shù)．
分析：（1）由f（x）=x²-2=x，能求出f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
（2）由f（x）=ax²+bx-b，對(duì)任意實(shí)數(shù)b，都有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，知方程ax²+bx-b=x恒有兩個(gè)不同解，故ax²+（b-1）x-b=0恒有兩個(gè)不同解，故△=（b-1）²+4ab＞0恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）對(duì)于f（x）上任意不動(dòng)點(diǎn)（x₀，x₀），有f（x₀）=x₀，由f（x）是奇函數(shù)，知f（-x₀）=-f（x₀）=-x₀，故（-x₀，-x₀）也是f（x）上的不動(dòng)點(diǎn)，再由（0，0）是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，知f（x）不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)k必為奇數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．