Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點為F（-c，0），F(xiàn)′（c，0），c＞0，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與拋物線y²=4cx交于點P，若P在以FF′為直徑的圓上，則該雙曲線的離心率平方為（　�。�

• A、

  3+ 5

  2

• B、

  5

• C、

  5 -1

  2

• D、

  1+ 5

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、聯(lián)立方程組，建立a，c的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：如圖，設(shè)拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，
雙曲線的右焦點為F'，由題意可知FF'為圓x²+y²=c²的直徑，
∴設(shè)P（x，y），（x＞0），則PF'⊥PF，且tan∠PFF'=

b

a

，
∴滿足

y2=4cx x2+y2=c2 y x+c = b a

，
即有x²+4cx-c²=0，
則x=（-2±

5

）c，
即x=（

5

-2）c，或x=（-

5

-2）c（舍去）
將x=（

5

-2）c代入第三式，
得

y

( 5 -1)c

=

b

a

，
即y=

( 5 -1)bc

a

，再將y代入第一式得，

b2c2(6-2 5 )

a2

=4c•（

5

-2）c，
∴

b2

a2

=

4( 5 -2)

6-2 5

=

c2-a2

a2

=e²-1，
即e²=1+

4( 5 -2)

6-2 5

=

5 +1

2

，
故選：D．

點評：熟練掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題運算量較大，綜合性較強．