Question

已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)．

(1)如圖(甲)中，F(xiàn)、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖(乙)中，若F是BC上的點(diǎn)，G是DC上的點(diǎn)，且，求證：四邊形EFGH是梯形，并且直線EF、GH、AC共點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)如圖(甲)，連結(jié)BD． 　　∵EH是的△ABD中位線， 　　∴EHBD，同理FGBD 　　根據(jù)公理4，EHFG 　　∴四邊形EFGH是平行四邊形． 　　(2)如圖(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中， 　　∴FG∥BD，F(xiàn)G＝BD 　　由公理4，∴EH∥FG，又FG＞EH． 　　∴四邊形EFGH是梯形． 　　則直線EF、GH相交，設(shè)EF∩GH＝P 　　則P∈EF，又EF平面ABC 　　∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC． 　　又平面ABC∩平面ADC＝AC 　　由公理2，得P∈AC， 　　即EF、GH、AC三條直線共點(diǎn)． 　　點(diǎn)評(píng)：證明四邊形是平行四邊形或者梯形，首先必須證明它是平面圖形，本題中的EH∥FG是關(guān)鍵