Question

（2013•惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函數(shù)y=f（2x+

π

4

）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱．
（1）求φ的值；
（2）若f（a-

2π

3

）=

2

4

，求sin2a的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式合并可得f（2x+

π

4

）=sin（2x+

π

4

+φ），再用三角函數(shù)對(duì)稱軸方程的公式建立關(guān)于φ的等式，結(jié)合題意可解出φ=

11π

12

；
（2）將a-

2π

3

代入（1）中求出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)整理可得sin（a+

π

4

）=

2

4

，結(jié)合兩角和的正弦公式可得sina+cosa=

1

2

，再將此式平方，并結(jié)合二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可算出sin2a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），…（2分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．…（3分）
∵函數(shù)y=f（2x+

π

4

）=sin[（2x+

π

4

）+φ]=sin（2x+

π

4

+φ），
且函數(shù)y=sin（2x+

π

4

+φ）圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，…（5分）
∴x=

π

6

滿足2x+

π

4

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z
代入得

π

3

+

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，
結(jié)合0＜φ＜π取k=1，得φ=

11π

12

…（7分）
（2）∵f（a-

2π

3

）=sin（a-

2π

3

+

11π

12

）=sin（a+

π

4

），…（9分）
∴sin（a+

π

4

）=

2

2

（sina+cosa）=

2

4

，可得sina+cosa=

1

2

，…（11分）
兩邊平方，得（sina+cosa）²=

1

4

，即sin²a+2sinacosa+cos²a=

1

4

∵sin2a=2sinacosa
∴1+sin2a=

1

4

，解之可得sin2a=-

3

4

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，求φ的值并通過函數(shù)解析式求另一個(gè)角的正弦值．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．