Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若函數(shù)在區(qū)間（2，4）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）首先分析求出函數(shù)的定義域，對f（x）求導(dǎo)可得f′（x）=ax+1-a-

1

x

，根據(jù)題意，有f′（x）=ax+1-a-

1

x

≥0，變形可得a（x-1）≥-

x-1

x

，結(jié)合x的范圍，可得a≥-

1

x

，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（2）對f（x）求導(dǎo)變形可得f′（x）=（ax+1）•

x-1

x

，解令f′（x）=0，可得x的值，進(jìn)而分①當(dāng)a＜-1，②當(dāng)a=-1③當(dāng)-1＜a＜0，④當(dāng)a=0，⑤a＞0，五種情況討論f′（x）≥0的解集，綜合可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′（x）=ax+1-a-

1

x

，
已知函數(shù)在區(qū)間（2，4）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
由f′（x）=ax+1-a-

1

x

≥0有解，有a（x-1）≥-

x-1

x

又由2＜x＜4，則x-1＞0，
則有a≥-

1

x

＞-

1

4

，
故a的取值范圍是（-

1

4

，+∞）．
（2）f′（x）=ax+1-a-

1

x

=（ax+1）•

x-1

x

，
令f′（x）=0，可得x=0、-1、或-

1

a

，
①當(dāng)a＜-1時(shí)，由f′（x）≥0得-

1

a

≤x≤1，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

1

a

，1]；
②當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）無單調(diào)增區(qū)間；
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f′（x）≥0得1≤x≤-

1

a

，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，-

1

a

]；
④當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）=

x-1

x

≥0得x≥1，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）；
⑤當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=（ax+1）•

x-1

x

≥0得x≥1，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）．
綜上所述當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

1

a

，1]；
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）無單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，-

1

a

]；
當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，注意解題時(shí)要先分析函數(shù)的定義域．