Question

已知函數(shù)f（x）=x-

x2+ax

ex

（a∈R）．
（1）當a=1時，證明：當x≥0時，f（x）≥0；
（2）當a=-1，證明：（1-

lnx

x

）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=1時，令g（x）=e^x-x-1，g'（x）=e^x-1≥0，g（x）≥0，由此能證明當x≥0時，f（x）≥0．
（2）a=-1時，(1-

lnx

x

)f(x)=(x-lnx)(1-

x-1

ex

)，令h（x）=x-lnx，h′(x)=

x-1

x

，由此能證明（1-

lnx

x

）f（x）＞1-

1

e2

．

解答： 證明：（1）a=1時，f(x)=x-

x2+x

ex

=

x

ex

(ex-x-1)，
令g（x）=e^x-x-1，g'（x）=e^x-1≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)…（3分）
g（x）≥g（0）=0，
∴當x≥0時，f(x)=

x

ex

g(x)≥0．…（6分）
（2）a=-1時，(1-

lnx

x

)f(x)=(x-lnx)(1-

x-1

ex

)，
令h（x）=x-lnx，h′(x)=

x-1

x

，
0＜x＜1時，h'（x）＜0，x＞1時，h'（x）＞0
∴h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，…（9分）
∴h（x）≥h（1）①
令φ（x）=1-

x-1

ex

，ϕ′(x)=

x-2

ex

，
∴0＜x＜2時，φ'（x）＜0，
x＞2時，φ'（x）＞0，
即φ（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)
∴ϕ(x)≥ϕ(2)=1-

1

e2

②，
∴由①②得(1-

lnx

x

)f(x)=h(x)φ(x)＞1-

1

e2

．…（12分）

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，合理構造函數(shù)，注意導數(shù)性質的合理運用．