Question

已知A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，
①當(dāng)|PQ|=3時(shí)，求直線l的方程；
②設(shè)點(diǎn)E（m，0）是x軸上一點(diǎn)，求當(dāng)•恒為定值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值．

Answer 1

解：（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中點(diǎn)，∴x=，y=，
∵|AB|=2，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x²+y²=3．
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P（1，），Q（1，-），
此時(shí)|PQ|=2，不符合題意；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為，
由=，解得k=．故直線l的方程為y=（x-1）．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則由韋達(dá)定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，
則=（m-x₁，-y₁），=（m-x₂，-y₂），
∴•=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-++k²（-+1）=
要使上式為定值須=1，解得m=1，
∴•為定值-2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P（1，），Q（1，-），
由E（1，0）可得=（0，-），=（0，），
∴•=-2，
綜上所述當(dāng)E（1，0）時(shí)，•為定值-2．
分析：（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，-b），通過(guò)D是AB的中點(diǎn)，|AB|的距離，列出方程即可求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，
①當(dāng)|PQ|=3時(shí)，通過(guò)直線的斜率存在與不存在分別求解，利用圓心到直線的距離求出直線的斜率，然后求直線l的方程；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），推出（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
由韋達(dá)定理以及•，確定•為定值-2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出P（1，），Q（1，-），
得到•=-2，即可求出•恒為定值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓心位置關(guān)系，數(shù)量積與韋達(dá)定理的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力，分類討論思想．