設數(shù)列{an}的首項a1=
5
3
，an+1=
2
3
+
1
3
an（n∈N+）
（1）求證：數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列；
（2）記Sn=a1+a2+a3+┉+an，求Sn的值．
分析：（1）由an+1=
2
3
+
1
3
an，可得an+1-1=
1
3
（an+1），即可證明數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式，即可求Sn的值．
解答：（1）證明：∵an+1=
2
3
+
1
3
an，
∴an+1-1=
1
3
（an+1），
∵a1-1=
2
3
，
∴數(shù)列{an-1}是首項
2
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）解：∵an=
2
3
×(
1
3
)n-1+1
∴Sn=a1+a2+a3+┉+an
=
2
3
×[1+
1
3
+(
1
3
)2+…+(
1
3
)n-1]+n=1+n-(
1
3
)n┉┉┉（12分）
點評：本題考查等比數(shù)列的證明與求和，考查學生的計算能力，正確變形是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的首項a1=
3
2
，前n項和為Sn，且滿足2an+1+Sn=3（ n∈N*）．
（Ⅰ）求a2及an；
（Ⅱ）求滿足
18
17
＜
S2n
Sn
＜
8
7
的所有n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的首項a1=a≠
1
4
，且an+1=
1
2
an		(n為偶數(shù))
an+
1
4
(n為奇數(shù))
，n∈N*，記bn=a2n-1-
1
4
，cn=
sinn
|sinn|
bn，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；
（3）當a＞
1
4
時，數(shù)列{cn}前n項和為Sn，求Sn最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
，且an+1=
2an
1+an
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根據(jù)上述結果猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•昌平區(qū)二模）設數(shù)列{an}的首項a1=-
1
2
，前n項和為Sn，且對任意n，m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
，數(shù)列{an}中的部分項{abk}(k∈N*）成等比數(shù)列，且b1=2，b2=4．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}與的通項公式；
（Ⅱ）令f(n)=
1
bn+1
，并用x代替n得函數(shù)f（x），設f（x）的定義域為R，記cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)，求
n
i=1
1
cici+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的首項a1=
5
4
，且an+1=
1
2
an，n為偶數(shù)
an+
1
4
，n為奇數(shù)
，記bn=a2n-1-
1
4
，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若設數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，cn=nbn，求Sn．

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