Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不等于0的常數(shù)．
（1）若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x），求函數(shù)y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x），x∈[1，2）的解析式；
（3）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x），x∈[n，n+1]，n∈N的解析式．

Answer 1

分析：（1）對(duì)f（x）配方后借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)值域；
（2）當(dāng)1≤x＜2時(shí)，0≤x-1＜1，由0≤x≤1時(shí)f（x）表達(dá)式可求得f（x-1），再根據(jù)已知條件f（x+1）=af（x）得f（x）=af（x-1），由此可求得結(jié)果；
（3）當(dāng)n≤x＜n+1時(shí)，0≤x-n＜1，同（2）可求得f（x-n），根據(jù)f（x）=af（x-1）=a²f（x-2）=…=aⁿf（x-n）可得答案；

解答：解：（1）∵f（x）=x（1-x）=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，
∴f（x）∈[0，

1

4

]，即f（x）的值域?yàn)閇0，

1

4

]；
（2）∵函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x）且a≠0，
∴f（x）=af（x-1），x∈R．
若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x），
則當(dāng)1≤x＜2時(shí)，0≤x-1＜1，
∴f（x）=af（x-1）=a（x-1）[1-（x-1）]=a（x-1）（2-x）=-ax²+3ax-2a；
（3）當(dāng)n≤x＜n+1，n∈N時(shí)，f（x）=af（x-1）=a²f（x-2）=…=aⁿf（x-n），x∈R，
∴當(dāng)n≤x＜n+1，n∈N時(shí)，f（x）=aⁿf（x-n）=aⁿ（x-n）[1-（x-n）]=-aⁿx²+aⁿ（2n+1）x-aⁿn（n+1）．
∴當(dāng)x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=-aⁿx²+aⁿ（2n+1）x-aⁿn（n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，屬基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是正確理解已知條件f（x+1）=af（x）并能準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化．