Question

設函數(shù)f(x)=mx-

m

x

-2lnx．
（1）當m=1，x＞1時，求證：f（x）＞0；
（2）若對于x∈[1，

3

]，均有f（x）＜2成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，先求出函數(shù)的導函數(shù)，對?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）為單調增函數(shù)，從而f（x）＞f（1）=0；
（2）對任意x∈[1，

3

]，則f′（x）＜2 恒成立等價于f(x)max＜2(x∈[1，

3

])，然后討論m的正負利用導數(shù)研究函數(shù)在x∈[1，

3

]上的最大值即可求出m的范圍．

解答：解：（1）當m=1時，f（x）=x-

1

x

-2lnx，f′ (x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

 對?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0．∴f（x）在（1，+∞）為單調增函數(shù)，∴當x＞1時，f（x）＞f（1）=0．
 （2）對任意x∈[1，

3

]，∴f′（x）＜2 恒成立等價于f(x)max＜2(x∈[1，

3

])
當m=0時，∵f′ (x)=-

2

x

＜0，∴f（x）在[1，

3

]上為單調減函數(shù)．∴f（x）_max=f（1）=0＜2
當m＜0時，對任意x∈[1，

3

]，f′(x)=

mx2-2x+m

x2

＜0，∴f(x)max＜2(x∈[1，

3

])成立．
當m＞0時，f′(x)=

mx2-2x+m

x2

（a）當4-4m²≤0，即m≥1時，f′（x）＞0對任意的x∈(1，

3

)恒成立，
∴f（x）在[1，

3

]上是增函數(shù)．∴f(x)max=f(

3

) =m(

3

-

1

3

)-2ln

3

，
 由m(

3

-

1

3

)-2ln

3

＜2，解得m＜

3

(1+ln

3

)．∴1≤m＜

3

(1+ln

3

)．
（b）當4-4m²＞0，即0＜m＜1時，令f′（x）=0，得x=

1+ 1-m2

m

＞1，令

1+ 1-m2

m

=

3

，得m=

3

2

1）當0＜m≤

3

2

時，x=

1

m

+ 

1 m2 -1

≥

2

3

+ 

( 2 3 )2-1

=

3

，f（x）在[1，

3

]上是減函數(shù)，∴f（x）_max=f（1）=0＜2．
2）當

3

2

＜m＜1時，x=

1

m

+

1 m2 -1

＜

3

，則f（x）在（1，x₂）上是減函數(shù)，∴f（x）在(x2，

3

)上是增函數(shù)，
∴當x=1或x=

3

時，f（x）取最大值．∴

f(1)＜2 f( 3 ) ＜2

，即m＜

3

(1+ln

3

)，∴

3

2

＜m＜1．
 綜上，m的取值范圍是(-∞，

3

(1+ln

3

))．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性和函數(shù)的最值，同時考查了函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題，注意分類討論，計算量比較大．